Крилаті вислови про математику (200 виразів)

Однією з найважливіших у світі наук є математика. Ми живемо і дихаємо математичними формулами, кожного з нас можна розкласти на крихітні складові, і шматочки ці піддаються рахунку. Ще в давнину говорили, що «математика – найбільша з наук», але тоді вчені навіть гадки не мали, наскільки вони мають рацію. За століття було сформульовано безліч фраз, які описують цю науку. В даному розділі зібрані крилаті вирази про математику.

Геометрія – це мистецтво добре міркувати на погано виконаних кресленнях.

Нескінченність! Ніщо не рухало так глибоко людський розум.

Математика для вченого – те ж саме, що скальпель для анатома.

Ніщо не подобається, крім краси, в красі – ніщо, крім форм, в формах – ніщо, крім пропорцій, в пропорціях – ніщо, крім числа.

Математика є єдина симфонія нескінченного.

Число лежить в основі будь-якого сприйняття краси. Тільки в тому випадку, коли саме відчуття задоволення сповнене певних чисел, воно здатне схвалювати рівні інтервали і відкидати безладні.

Про один зі своїх учнів: Він став поетом – для математика у нього не вистачало фантазії.

Мета математичної строгості полягає в тому, щоб санкціонувати і узаконити завоювання інтуїції.

Математика є вченням про відносини між формулами, позбавленими будь-якого було змісту.

Математика корисна тим, що вона важка.

Математика – всього лише гра в яку грають згідно простим правилам і користуються при цьому нічого не значущими позначеннями.

Ніде, як в математиці, ясність і точність виведення не дозволяє людині відкрутитися від відповіді розмовами навколо питання.

У величезному саду геометрії кожний може підібрати собі букет за смаком.

Математика вчить точності думки, підпорядкування логіці докази, поняттю строго обґрунтованої істини, а все це формує особистість, мабуть, більше, ніж музика.

Ми всі переконані в тому, що будь-яка математична задача піддається вирішенню. Це переконання … є для нас великою підмогою в роботі, коли ми приступаємо до вирішення математичної проблеми, бо ми чуємо в собі постійний заклик: ось проблема, шукай рішення. Ти можеш знайти його за допомогою чистого мислення, бо в математиці не існує ignorabimus (ми не будемо знати).

Навколишній нас світ – це світ геометрії.

На мій погляд, справжня причина, через яку … не вдалося знайти нерозв’язну математичну проблему, полягає в тому, що нерозв’язних проблем не існує.

У моральному плані математика вчить нас суворо ставитися до того, що затверджується як істина, що висувається як аргумент або висловлюється як доказ. Математика вимагає ясності понять і тверджень, не терпить ні туману, ні бездоказових заяв.

Де ж ще шукати надійність і істинність, якщо навіть саме математичне мислення дає осічки?

Холодні числа, зовні сухі формули математики сповнені внутрішньої краси і спека сконцентрованої в них думки.

… Будь-які рамки, в особливості національного характеру, суперечать духу математики. Тільки абсолютно не розуміючи нашої науки, можна створювати відмінності між людьми і расами, а причини, за якими це робилося, є вкрай незначними. Математика не знає рас … Для математики весь культурний світ являє собою єдину країну.

Своєрідність геометрії, що виділяє її серед інших розділів математики, та й усіх наук взагалі, полягає в нерозривній органічному поєднанні живої уяви з суворою логікою. Геометрія в своїй суті і є просторова уява, пронизане і організоване суворою логікою.

Математика – це не тільки наука; в своїх кращих проявах вона ближче до високого мистецтва, музики, поезії.

Загальноосвітній значення курсу математики, як і будь-якого іншого предмета, полягає насамперед у тих загальних поняттях, які він дає і які розширюють кругозір і способи підходу людини до явищ життя. З цієї точки зору математика важлива, по-перше, своєю логікою, послідовністю і точністю висновків. По-друге, математика корисна тим, що вона важка. Її абстрактні строгі міркування вимагають великих і тривалих розумових зусиль, вимагають не стільки пам’яті, скільки розуміння і міркування.

Сучасна математика – це мова майбутнього.

Значення математики зараз безперервно зростає. В математиці народжуютьсянові ідеї та методи. Все це розширює сферу її застосування. Зараз вже не можна назвати такою області діяльності людей, де математика не грала б істотної ролі. Вона стала незамінним знаряддям у всіх науках про природу, в техніці, в суспільствознавстві. Навіть юристи та історики беруть на своє озброєння математичні методи.

Якби геометричні аксіоми зачіпали інтереси людей, вони б спростовувалися.

Інженер, який не володіє математичними методами, – це не інженер, а монтер … Інженер в повному сенсі цього слова немислимий без знання математики. Нічого не можна зробити без математики: міст побудувати не можна, греблю – не можна, гідростанцію – не можна. Скорочувати обсяг викладання математики – злочин! Треба вивчати її як можна в більшому обсязі, а головне – якомога грунтовніше.

Геометрія чимось нагадує вино.

… Будь-якої аксіоматичної обробці математичного матеріалу має передувати конкретне, я б сказав, наївне заволодіння ним.

Ключ до вирішення багатьох наукових завдань в їх вдалому викладі мовою математики.

Мені любо вислів стародавнього і найчарівнішої живописця Памфіла, у якого молоді люди благородного звання почали навчатися живопису. Він вважав, що жоден художник не може добре писати, не знаючи добре геометрії. Наші намітки, в яких викладено все мистецтво живопису в усьому безумовному досконало, будуть легко зрозумілі всяким геометром, але невіглас в геометрії не зрозуміє ні цих, ні будь-яких інших правил живопису. Тому я і стверджую, що живописцю потрібно вчитися геометрії.

Життя заснована на математиці, всю велич мистецтва і музики має в своїй основі математику.

І сильно полюбивши мистецтво числівник, подумав я, що без числа ніяке міркування філософське не складав, усю мудрість матір’ю його шануючи.

Будь-яке нове у відкритті є математичним за формою, бо немає ніякої іншої можливої ​​для нас дороговказною нитки.

Математика виявляє порядок, симетрію і визначеність, а це – найважливіші види прекрасного.

У людей, що засвоїли великі принципи математики, одним органом почуттів більше, ніж у простих смертних.

Ми з насолодою пізнаємо математику … Вона захоплює нас, як квітка лотоса.

Мало мати хороший розум, головне – добре його застосовувати.

І вчення про природу, і математику слід вважати лише частинами мудрості.

Я вважав найбільш достовірними ті істини, які ясно сприймав як пов’язані з фігурам, числам і іншим матерій, що належить арифметики, геометрії і взагалі чистої і абстрактної математики … Тільки математикам дано досягти безсумнівність і ясності, бо вони виходять з того, що найбільш легко і просто.

Піфагорійці були першими, хто, зайнявшись математичними науками, просунув їх уперед; виховавшись на них, піфагорійці стали вважати їх початками всіх речей.

До області математики відносяться тільки ті науки, в яких розглядається або порядок, або міра, і зовсім не суттєво, чи будуть це числа, фігури, зірки, звуки або що-небудь інше, в чому відшукується цей захід …

… В математиці … ні в одному доказі не посилаються тут на те, що так краще або гірше, та й взагалі нічого подібного нікому тут навіть на думку не спадає. Ось чому деякі софісти, наприклад Аристипп, ставилися до математики зневажливо: в інших мистецтвах, мовляв, навіть в ремісничих, наприклад в теслярських та шевському, завжди посилаються на те, що так краще або гірше, математичне ж мистецтво абсолютно не бере до уваги хороше і погане.

Нескінченність распознаваема, але не пізнавана.

Хоча математик на свій лад і користується загальними положеннями, але почала математики повинна досліджувати перша філософія.

Всі грандіозні досягнення математики і природничих наук … є наслідком нашого невтомного бажання надати світу в наших умах більш раціональну форму, ніж та, яку надав йому грубий порядок нашого досвіду.

Скуштувавши від солодкого плоду математики, ми схожі на Лотофаги, бо скориставшись нею хоч раз, ми не хочемо від неї відірватися і вона опановує нами, як квітка лотоса.

Найважливіший факт полягає в тому, що всі картини природи, намальовані наукою, які тільки можуть перебувати в злагоді з даними спостережень, – картини математичні … За межі математичних формул ми виходимо на свій страх і ризик.

Знову і знову слід повторити вислів Піфагора: Немає сумнівів, що природа в усьому залишається собіподібної. Насправді все так: існують числа, завдяки яким гармонія звуків полонить слух, ці ж числа сповнюють і очі, і дух чудовим. Легше знайти доказ, придбавши спочатку деяке поняття про те, що ми шукаємо, ніж шукати такий доказ без будь-якого попереднього знання.

Коли розмовляєш з математиком, можна не мати уявлення про математику. Але при цьому абсолютно необхідно почуття гумору і свідомість своєї нікчемності …

Математик – це той, хто вміє знаходити аналогії між твердженнями. Кращий математик – хто встановлює аналогії доказів. Сильніший може помітити аналогії теорій. Але є і такі, хто між аналогіями бачить аналогії.

Математика була для мене в дитинстві тим же, чим була релігія. Тому що і релігія, і математика стверджують, що можуть пояснити весь світ.

Головна сила математики полягає в тому, що разом з рішенням однієї конкретної задачі вона створює загальні прийоми і способи, які застосовуються в багатьох ситуаціях, які навіть не завжди можна передбачити.

Починати дослідження можна по-різному. Все одно початок майже завжди виявляється досить недосконалою, нерідко безуспішною спробою. Є істини, як країни, найбільш зручний шлях до яких стає відомим лише після того, як ми випробуємо всі шляхи. Кому-то доводиться, ризикуючи собою, сходити з второваною дороги, щоб вказати іншим правильний шлях … На шляху до істини ми майже завжди приречені робити помилки.

«Очевидний» – найнебезпечніше слово в математиці.

Математика – це знаряддя, спеціально пристосоване для того, щоб мати справу з абстрактними поняттями будь-якого виду, і в цій області немає меж її могутності. З цієї причини книга про сучасній фізиці, якщо вона не зводиться до простого опису експериментальної роботи, повинна бути по суті математичної.

Математика – королева і служниця наук.

Виявляється, одна з основних особливостей природи полягає в тому, що закони фундаментальної фізики описуються дуже витонченими і потужними математичними теоріями. Для розуміння цих теорій потрібно бути математиком високого рівня. Ви можете дивуватися: чому Природа влаштована таким чином? Єдине, що можна відповісти на сучасному рівні знань – Природа таким чином сконструйована. Залишається тільки прийняти це. Іншими словами, Бог – математик дуже високого рівня і Він використовував найдосконалішу математику при створенні Всесвіту. Наші слабкі математичні зусилля дозволяють нам зрозуміти пристрій лише маленького шматочка Всесвіту, і в міру подальшого розвитку математики ми сподіваємося зрозуміти будову Всесвіту краще.

Як відомо більшості математиків з власного досвіду, багато з того, що одне покоління математиків вважає надійним і задовільним, має шанс звернутися в найтоншу павутину під пильним поглядом наступного покоління.

… Потрібно в першу чергу керуватися міркуваннями математичної краси, не надаючи особливого значення розбіжностей з досвідом. Розбіжності цілком можуть бути викликані якимись вторинними ефектами, які проясняться пізніше.

Прийняте в XX столітті визначення математики як науки про нескінченному варто було б замінити іншим, більш правильно відображає її сутність як науки про співвідношеннях кінцевого і нескінченного.

… Людину, яка вміє спостерігати і аналізувати, обдурити просто неможливо. Його висновки будуть безпомилкові, як теореми Евкліда.

Хіба математики … не мають своїх таємниць і, більш того, своїх неприємностей і протиріч?

Числа – це обов’язкове знаряддя сучасної цивілізації, яке використовується для впорядкування сфери її діяльності.

Давно помічено, що геометрія – це чудова логіка. А таки справді: коли визначення ясні, коли постулати незаперечні, коли властивості фігур випливають з чіткого спостереження за допомогою чіткої ланцюжка послідовних міркувань, а об’єкти весь час знаходяться в полі зору, – то таким шляхом формується звичка думати точно, послідовноі методично; ця звичка підсилює і відточує розум і стає потрібною під час пошуків істини в інших областях.

Математика є менше знанням, ніж умінням.

Строгість в математиці означає, перш за все, сумлінність і ясність.

Якщо теорему так і не змогли довести, вона стає аксіомою.

Я сподіваюся, що в майбутньому все більше фізиків-теоретиків будуть отримувати глибокі пізнання математичних принципів, а математики не стануть обмежуватися суто естетичним розвитком математичних абстракцій.

У математиці слід пам’ятати не формулою, а процеси мислення.

Мабуть, нові математичні відкриття, що здійснюються за підказкою фізики, завжди будуть найважливішими, бо природа проклала шлях і встановила канони, яким повинна слідувати математика, що є мовою природи.

Можна було б запитати, для чого потрібні ці неможливі рішення (комплексні коріння). Я відповім – з трьох причин: для непорушності загальних правил; щоб не було інших рішень і через їх корисності.

У математиці є своя краса, як у живописі і поезії.

… Відносини математики та живопису особливо близькі, бо ці види діяльності часто використовують один і той же об’єкт дослідження. Більш того, так само як математика може бути використана для аналізу живопису, остання в свою чергу (малювання, креслення, зокрема) очевидно корисна в математичних дослідженнях, причому далеко не тільки в геометрії. Математику і живопис в зв’язку з цим можна розглядати просто як два різних, взаємодоповнюючих способу візуалізації конкретної або абстрактної реальності, в якій ми існуємо.

Математика – це більше ніж наука, це мова науки.

Математичний талант – складна річ. Зрозуміло, математичні здібності його необхідний інгредієнт. Але цього мало. Математичні здібності зустрічаються частіше, ніж зазвичай вважають. Однак, математика, як і наука взагалі, важка і щоб домогтися в ній чогось путнього, потрібно жити нею, потрібна пристрасність.

Математика – заклятий ворог зубріння.

У завданнях по елементарної геометрії доводиться користуватися дуже дотепними, часом тонкими прийомами, і той, хто в своїй молодості скуштував їх принадність, ніколи їх не забуде.

Це загальновідома істина, очевидна з першого погляду, що математика – винахід людини.

Математика – найкоротший шлях до самостійного мислення.

… Було б легше зупинити Сонце, легше було зрушити Землю, ніж зменшити суму кутів в трикутнику, звести паралелі до сходження і розсунути перпендикуляри до прямої на розбіжність.

Якщо ви хочете брати участь у великому житті, то наповнюйте свою голову математикою, поки є до того можливість. Вона надасть вам потім величезну допомогу у всій вашій роботі.

Математика існує не для того, щоб нав’язувати кому-небудь важку роботу. Навпаки, вона існує тільки для задоволення. Для задоволення тих, хто любить аналізувати те, що він робить, або може зробити, або те, що вже зробив в надії зробити це ще краще.

Оцінка математичної теорії визначається не тільки її правильністю. Вона залежить також від важливості предмета і області застосувань. За межами цього має бути ще місце вільним судженням людини.

З часів греків говорити «математика» – значить говорити «доказ».

З найдавніших часів критичні перегляди підстав всієї математики в цілому або будь-якого з її розділів майже незмінно змінювалися на періоди невпевненості, коли виникали суперечності, які доводилося вирішувати … Але ось уже двадцять п’ять століть математики мають звичай виправляти свої помилки і бачити в цьому збагачення, а не збіднення науки; це дає їм право дивитися в майбутнє спокійно.

Мистецтво – завуальована алгебра, що забирає життя у тих, хто прагне підняти її покривало.

Людина, що не знає математики, не здатний ні до яких інших наук. Більш того, він навіть не здатний оцінити рівень свого невігластва, а тому не шукає від нього ліки.

В історії черпаємо ми мудрість, в поезії – дотепність, в математиці – проникливість.

Математика – перша з усіх наук і корисна, і необхідна для них.

Математика – це двері і ключ до наук.

Практика народжується з тісного з’єднання фізики і математики.

У природі існує багато такого, що не може бути ні досить глибоко зрозуміти, ні досить переконливо доведено, ні доситьвміло і надійно використано на практиці без допомоги і втручання математики.

Математичні обдарування, подібно музичним, нерідко вроджені, проявляються рано і органічно визначають склад розуму даної людини.

Математика допомагає зрозуміти реальність і може нею надихатися, але для підтвердження або спростування будь-якого її пропозиції реальність їй не потрібна.

Фізика здається математикою в кольорі, але математика більше, ніж чорно-біла фізика.

Реальність говорить останнє слово, щоб перевірити чи спростувати наукову теорію, але що або хто піклується про такі речі в математиці?

Комплексні числа допомагають через зворотного боку дзеркала впоратися з недоліками дійсних чисел.

Краса математики, як і краса будь-якої речі, – це внутрішня властивість, вона відбувається з гармонії між різними частинами одного цілого.

Геометрія – це мистецтво добре міркувати на погано виконаних кресленнях.

Нескінченність! Ніщо не рухало так глибоко людський розум.

Математика для вченого – те ж саме, що скальпель для анатома.

Ніщо не подобається, крім краси, в красі – ніщо, крім форм, в формах – ніщо, крім пропорцій, в пропорціях – ніщо, крім числа.

Математика є єдина симфонія нескінченного.

Число лежить в основі будь-якого сприйняття краси. Тільки в тому випадку, коли саме відчуття задоволення сповнене певних чисел, воно здатне схвалювати рівні інтервали і відкидати безладні.

Про один зі своїх учнів: Він став поетом – для математика у нього не вистачало фантазії.

Мета математичної строгості полягає в тому, щоб санкціонувати і узаконити завоювання інтуїції.

Математика є вченням про відносини між формулами, позбавленими будь-якого було змісту.

Математика корисна тим, що вона важка.

Математика – всього лише гра в яку грають згідно простим правилам і користуються при цьому нічого не значущими позначеннями.

Ніде, як в математиці, ясність і точність виведення не дозволяє людині відкрутитися від відповіді розмовами навколо питання.

У величезному саду геометрії кожний може підібрати собі букет за смаком.

Математика вчить точності думки, підпорядкування логіці докази, поняттю строго обґрунтованої істини, а все це формує особистість, мабуть, більше, ніж музика.

Ми всі переконані в тому, що будь-яка математична задача піддається вирішенню. Це переконання … є для нас великою підмогою в роботі, коли ми приступаємо до вирішення математичної проблеми, бо ми чуємо в собі постійний заклик: ось проблема, шукай рішення. Ти можеш знайти його за допомогою чистого мислення, бо в математиці не існує ignorabimus (ми не будемо знати).

Навколишній нас світ – це світ геометрії.

На мій погляд, справжня причина, через яку … не вдалося знайти нерозв’язну математичну проблему, полягає в тому, що нерозв’язних проблем не існує.

У моральному плані математика вчить нас суворо ставитися до того, що затверджується як істина, що висувається як аргумент або висловлюється як доказ. Математика вимагає ясності понять і тверджень, не терпить ні туману, ні бездоказових заяв.

Де ж ще шукати надійність і істинність, якщо навіть саме математичне мислення дає осічки?

Холодні числа, зовні сухі формули математики сповнені внутрішньої краси і спека сконцентрованої в них думки.

… Будь-які рамки, в особливості національного характеру, суперечать духу математики. Тільки абсолютно не розуміючи нашої науки, можна створювати відмінності між людьми і расами, а причини, за якими це робилося, є вкрай незначними. Математика не знає рас … Для математики весь культурний світ являє собою єдину країну.

Своєрідність геометрії, що виділяє її серед інших розділів математики, та й усіх наук взагалі, полягає в нерозривній органічному поєднанні живої уяви з суворою логікою. Геометрія в своїй суті і є просторова уява, пронизане і організоване суворою логікою.

Математика – це не тільки наука; в своїх кращих проявах вона ближче до високого мистецтва, музики, поезії.

Загальноосвітній значення курсу математики, як і будь-якого іншого предмета, полягає насамперед у тих загальних поняттях, які він дає і які розширюють кругозір і способи підходу людини до явищ життя. З цієї точки зору математика важлива, по-перше,своєю логікою, послідовністю і точністю висновків. По-друге, математика корисна тим, що вона важка. Її абстрактні строгі міркування вимагають великих і тривалих розумових зусиль, вимагають не стільки пам’яті, скільки розуміння і міркування.

Сучасна математика – це мова майбутнього.

Значення математики зараз безперервно зростає. В математиці народжуються нові ідеї і методи. Все це розширює сферу її застосування. Зараз вже не можна назвати такою області діяльності людей, де математика не грала б істотної ролі. Вона стала незамінним знаряддям у всіх науках про природу, в техніці, в суспільствознавстві. Навіть юристи та історики беруть на своє озброєння математичні методи.

Якби геометричні аксіоми зачіпали інтереси людей, вони б спростовувалися.

Інженер, який не володіє математичними методами, – це не інженер, а монтер … Інженер в повному сенсі цього слова немислимий без знання математики. Нічого не можна зробити без математики: міст побудувати не можна, греблю – не можна, гідростанцію – не можна. Скорочувати обсяг викладання математики – злочин! Треба вивчати її як можна в більшому обсязі, а головне – якомога грунтовніше.

Геометрія чимось нагадує вино.

… Будь-якої аксіоматичної обробці математичного матеріалу має передувати конкретне, я б сказав, наївне заволодіння ним.

Ключ до вирішення багатьох наукових завдань в їх вдалому викладі мовою математики.

Мені любо вислів стародавнього і найчарівнішої живописця Памфіла, у якого молоді люди благородного звання почали навчатися живопису. Він вважав, що жоден художник не може добре писати, не знаючи добре геометрії. Наші намітки, в яких викладено все мистецтво живопису в усьому безумовному досконало, будуть легко зрозумілі всяким геометром, але невіглас в геометрії не зрозуміє ні цих, ні будь-яких інших правил живопису. Тому я і стверджую, що живописцю потрібно вчитися геометрії.

Життя заснована на математиці, всю велич мистецтва і музики має в своїй основі математику.

І сильно полюбивши мистецтво числівник, подумав я, що без числа ніяке міркування філософське не складав, усю мудрість матір’ю його шануючи.

Будь-яке нове у відкритті є математичним за формою, бо немає ніякої іншої можливої ​​для нас дороговказною нитки.

Математика виявляє порядок, симетрію і визначеність, а це – найважливіші види прекрасного.

У людей, що засвоїли великі принципи математики, одним органом почуттів більше, ніж у простих смертних.

Ми з насолодою пізнаємо математику … Вона захоплює нас, як квітка лотоса.

Мало мати хороший розум, головне – добре його застосовувати.

І вчення про природу, і математику слід вважати лише частинами мудрості.

Я вважав найбільш достовірними ті істини, які ясно сприймав як пов’язані з фігурам, числам і іншим матерій, що належить арифметики, геометрії і взагалі чистої і абстрактної математики … Тільки математикам дано досягти безсумнівність і ясності, бо вони виходять з того, що найбільш легко і просто.

Піфагорійці були першими, хто, зайнявшись математичними науками, просунув їх уперед; виховавшись на них, піфагорійці стали вважати їх початками всіх речей.

До області математики відносяться тільки ті науки, в яких розглядається або порядок, або міра, і зовсім не суттєво, чи будуть це числа, фігури, зірки, звуки або що-небудь інше, в чому відшукується цей захід …

… В математиці … ні в одному доказі не посилаються тут на те, що так краще або гірше, та й взагалі нічого подібного нікому тут навіть на думку не спадає. Ось чому деякі софісти, наприклад Аристипп, ставилися до математики зневажливо: в інших мистецтвах, мовляв, навіть в ремісничих, наприклад в теслярських та шевському, завжди посилаються на те, що так краще або гірше, математичне ж мистецтво абсолютно не бере до уваги хороше і погане.

Нескінченність распознаваема, але не пізнавана.

Хоча математик на свій лад і користується загальними положеннями, але почала математики повинна досліджувати перша філософія.

Всі грандіозні досягнення математики і природничих наук … є наслідком нашого невтомного бажання надати світу в наших умах більш раціональну форму, ніж та, яку надав йому грубий порядок нашого досвіду.

Скуштувавши від солодкого плоду математики, ми схожі на Лотофаги, бо скориставшись нею хоч раз, ми не хочемо від неї відірватися і вона опановує нами, як квітка лотоса.

Найважливіший факт полягає в тому, що всі картини природи, намальовані наукою, які тільки можуть перебувати в злагоді з даними спостережень, – картини математичні … За межі математичних формул ми виходимо на свій страх і ризик.

Знову і знову слід повторити вислів Піфагора: Немає сумнівів, що природа в усьому залишається собі подібної. Насправді все так: існують числа, завдяки яким гармонія звуків полонить слух, ці ж числа сповнюють і очі, і дух чудовим. Легше знайти доказ, придбавши спочатку деяке поняття про те, що ми шукаємо, ніж шукати такий доказ без будь-якого попереднього знання.

Коли розмовляєш з математиком, можна не мати уявлення про математику. Але при цьому абсолютно необхідно почуття гумору і свідомість своєї нікчемності …

Математик – це той, хто вміє знаходити аналогії між твердженнями. Кращий математик – хто встановлює аналогії доказів. Сильніший може помітити аналогії теорій. Але є і такі, хто між аналогіями бачить аналогії.

Математика була для мене в дитинстві тим же, чим була релігія. Тому що і релігія, і математика стверджують, що можуть пояснити весь світ.

Головна сила математики полягає в тому, що разом з рішенням однієї конкретної задачі вона створює загальні прийоми і способи, які застосовуються в багатьох ситуаціях, які навіть не завжди можна передбачити.

Починати дослідження можна по-різному. Все одно початок майже завжди виявляється досить недосконалою, нерідко безуспішною спробою. Є істини, як країни, найбільш зручний шлях до яких стає відомим лише після того, як ми випробуємо всі шляхи. Кому-то доводиться, ризикуючи собою, сходити з второваною дороги, щоб вказати іншим правильний шлях … На шляху до істини ми майже завжди приречені робити помилки.

«Очевидний» – найнебезпечніше слово в математиці.

Математика – це знаряддя, спеціально пристосоване для того, щоб мати справу з абстрактними поняттями будь-якого виду, і в цій області немає меж її могутності. З цієї причини книга про сучасній фізиці, якщо вона не зводиться до простого опису експериментальної роботи, повинна бути по суті математичної.

Математика – королева і служниця наук.

Виявляється, одна з основних особливостей природи полягає в тому, що закони фундаментальної фізики описуються дуже витонченими і потужними математичними теоріями. Для розуміння цих теорій потрібно бути математиком високого рівня. Ви можете дивуватися: чому Природа влаштована таким чином? Єдине, що можна відповісти на сучасному рівні знань – Природа таким чином сконструйована. Залишається тільки прийняти це. Іншими словами, Бог – математик дуже високого рівня і Він використовував найдосконалішу математику при створенні Всесвіту. Наші слабкі математичні зусилля дозволяють нам зрозуміти пристрій лише маленького шматочка Всесвіту, і в міру подальшого розвитку математики ми сподіваємося зрозуміти будову Всесвіту краще.

Як відомо більшості математиків з власного досвіду, багато з того, що одне покоління математиків вважає надійним і задовільним, має шанс звернутися в найтоншу павутину під пильним поглядом наступного покоління.

… Потрібно в першу чергу керуватися міркуваннями математичної краси, не надаючи особливого значення розбіжностей з досвідом. Розбіжності цілком можуть бути викликані якимись вторинними ефектами, які проясняться пізніше.

Прийняте в XX столітті визначення математики як науки про нескінченному варто було б замінити іншим, більш правильно відображає її сутність як науки про співвідношеннях кінцевого і нескінченного.

… Людину, яка вміє спостерігати і аналізувати, обдурити просто неможливо. Його висновки будуть безпомилкові, як теореми Евкліда.

Хіба математики … не мають своїх таємниць і, більш того, своїх неприємностей і протиріч?

Числа – це обов’язкове знаряддя сучасної цивілізації, яке використовується для впорядкування сфери її діяльності.

Давно помічено, щогеометрія – це чудова логіка. А таки справді: коли визначення ясні, коли постулати незаперечні, коли властивості фігур випливають з чіткого спостереження за допомогою чіткої ланцюжка послідовних міркувань, а об’єкти весь час знаходяться в полі зору, – то таким шляхом формується звичка думати точно, послідовно і методично; ця звичка підсилює і відточує розум і стає потрібною під час пошуків істини в інших областях.

Математика є менше знанням, ніж умінням.

Строгість в математиці означає, перш за все, сумлінність і ясність.

Якщо теорему так і не змогли довести, вона стає аксіомою.

Я сподіваюся, що в майбутньому все більше фізиків-теоретиків будуть отримувати глибокі пізнання математичних принципів, а математики не стануть обмежуватися суто естетичним розвитком математичних абстракцій.

У математиці слід пам’ятати не формулою, а процеси мислення.

Мабуть, нові математичні відкриття, що здійснюються за підказкою фізики, завжди будуть найважливішими, бо природа проклала шлях і встановила канони, яким повинна слідувати математика, що є мовою природи.

Можна було б запитати, для чого потрібні ці неможливі рішення (комплексні коріння). Я відповім – з трьох причин: для непорушності загальних правил; щоб не було інших рішень і через їх корисності.

У математиці є своя краса, як у живописі і поезії.

… Відносини математики та живопису особливо близькі, бо ці види діяльності часто використовують один і той же об’єкт дослідження. Більш того, так само як математика може бути використана для аналізу живопису, остання в свою чергу (малювання, креслення, зокрема) очевидно корисна в математичних дослідженнях, причому далеко не тільки в геометрії. Математику і живопис в зв’язку з цим можна розглядати просто як два різних, взаємодоповнюючих способу візуалізації конкретної або абстрактної реальності, в якій ми існуємо.

Математика – це більше ніж наука, це мова науки.

Математичний талант – складна річ. Зрозуміло, математичні здібності його необхідний інгредієнт. Але цього мало. Математичні здібності зустрічаються частіше, ніж зазвичай вважають. Однак, математика, як і наука взагалі, важка і щоб домогтися в ній чогось путнього, потрібно жити нею, потрібна пристрасність.

Математика – заклятий ворог зубріння.

У завданнях по елементарної геометрії доводиться користуватися дуже дотепними, часом тонкими прийомами, і той, хто в своїй молодості скуштував їх принадність, ніколи їх не забуде.

Це загальновідома істина, очевидна з першого погляду, що математика – винахід людини.

Математика – найкоротший шлях до самостійного мислення.

… Було б легше зупинити Сонце, легше було зрушити Землю, ніж зменшити суму кутів в трикутнику, звести паралелі до сходження і розсунути перпендикуляри до прямої на розбіжність.

Якщо ви хочете брати участь у великому житті, то наповнюйте свою голову математикою, поки є до того можливість. Вона надасть вам потім величезну допомогу у всій вашій роботі.

Математика існує не для того, щоб нав’язувати кому-небудь важку роботу. Навпаки, вона існує тільки для задоволення. Для задоволення тих, хто любить аналізувати те, що він робить, або може зробити, або те, що вже зробив в надії зробити це ще краще.

Оцінка математичної теорії визначається не тільки її правильністю. Вона залежить також від важливості предмета і області застосувань. За межами цього має бути ще місце вільним судженням людини.

З часів греків говорити «математика» – значить говорити «доказ».

З найдавніших часів критичні перегляди підстав всієї математики в цілому або будь-якого з її розділів майже незмінно змінювалися на періоди невпевненості, коли виникали суперечності, які доводилося вирішувати … Але ось уже двадцять п’ять століть математики мають звичай виправляти свої помилки і бачити в цьому збагачення, а не збіднення науки; це дає їм право дивитися в майбутнє спокійно.

Мистецтво – завуальована алгебра, що забирає життя у тих, хто прагне підняти її покривало.

Людина, що не знає математики, не здатний ні до яких інших наук. Більш того, він навіть не здатний оцінити рівень свого невігластва, а тому не шукає від нього ліки.

В історії черпаємо ми мудрість, в поезії – дотепність, в математиці – проникливість.

Математика – перша з усіх наук і корисна, і необхідна для них.

Математика – це двері і ключ до наук.

Практика народжується з тісного з’єднання фізики і математики.

У природі існує багато такого, що не може бути ні досить глибоко зрозуміти, ні досить переконливо доведено, ні досить вміло і надійно використано на практиці без допомоги і втручання математики.

Математичні обдарування, подібно музичним, нерідко вроджені, проявляються рано і органічно визначають склад розуму даної людини.

Математика допомагає зрозуміти реальність і може нею надихатися, але для підтвердження або спростування будь-якого її пропозиції реальність їй не потрібна.

Фізика здається математикою в кольорі, але математика більше, ніж чорно-біла фізика.

Реальність говорить останнє слово, щоб перевірити чи спростувати наукову теорію, але що або хто піклується про такі речі в математиці?

Комплексні числа допомагають через зворотного боку дзеркала впоратися з недоліками дійсних чисел.

Краса математики, як і краса будь-якої речі, – це внутрішня властивість, вона відбувається з гармонії між різними частинами одного цілого.