Я вважав найбільш достовірними ті істини, які ясно сприймав як пов’язані з фігурам, числам і іншим матерій, що належить арифметики, геометрії і взагалі чистої і абстрактної математики … Тільки математикам дано досягти безсумнівність і ясності, бо вони виходять з того, що найбільш легко і просто.
Піфагорійці були першими, хто, зайнявшись математичними науками, просунув їх уперед; виховавшись на них, піфагорійці стали вважати їх початками всіх речей.
До області математики відносяться тільки ті науки, в яких розглядається або порядок, або міра, і зовсім не суттєво, чи будуть це числа, фігури, зірки, звуки або що-небудь інше, в чому відшукується цей захід …
… В математиці … ні в одному доказі не посилаються тут на те, що так краще або гірше, та й взагалі нічого подібного нікому тут навіть на думку не спадає. Ось чому деякі софісти, наприклад Аристипп, ставилися до математики зневажливо: в інших мистецтвах, мовляв, навіть в ремісничих, наприклад в теслярських та шевському, завжди посилаються на те, що так краще або гірше, математичне ж мистецтво абсолютно не бере до уваги хороше і погане.
Нескінченність распознаваема, але не пізнавана.
Хоча математик на свій лад і користується загальними положеннями, але почала математики повинна досліджувати перша філософія.
Всі грандіозні досягнення математики і природничих наук … є наслідком нашого невтомного бажання надати світу в наших умах більш раціональну форму, ніж та, яку надав йому грубий порядок нашого досвіду.
Скуштувавши від солодкого плоду математики, ми схожі на Лотофаги, бо скориставшись нею хоч раз, ми не хочемо від неї відірватися і вона опановує нами, як квітка лотоса.
Найважливіший факт полягає в тому, що всі картини природи, намальовані наукою, які тільки можуть перебувати в злагоді з даними спостережень, – картини математичні … За межі математичних формул ми виходимо на свій страх і ризик.
Знову і знову слід повторити вислів Піфагора: Немає сумнівів, що природа в усьому залишається собіподібної. Насправді все так: існують числа, завдяки яким гармонія звуків полонить слух, ці ж числа сповнюють і очі, і дух чудовим. Легше знайти доказ, придбавши спочатку деяке поняття про те, що ми шукаємо, ніж шукати такий доказ без будь-якого попереднього знання.
Коли розмовляєш з математиком, можна не мати уявлення про математику. Але при цьому абсолютно необхідно почуття гумору і свідомість своєї нікчемності …
Математик – це той, хто вміє знаходити аналогії між твердженнями. Кращий математик – хто встановлює аналогії доказів. Сильніший може помітити аналогії теорій. Але є і такі, хто між аналогіями бачить аналогії.
Математика була для мене в дитинстві тим же, чим була релігія. Тому що і релігія, і математика стверджують, що можуть пояснити весь світ.
Головна сила математики полягає в тому, що разом з рішенням однієї конкретної задачі вона створює загальні прийоми і способи, які застосовуються в багатьох ситуаціях, які навіть не завжди можна передбачити.
Починати дослідження можна по-різному. Все одно початок майже завжди виявляється досить недосконалою, нерідко безуспішною спробою. Є істини, як країни, найбільш зручний шлях до яких стає відомим лише після того, як ми випробуємо всі шляхи. Кому-то доводиться, ризикуючи собою, сходити з второваною дороги, щоб вказати іншим правильний шлях … На шляху до істини ми майже завжди приречені робити помилки.
«Очевидний» – найнебезпечніше слово в математиці.
Математика – це знаряддя, спеціально пристосоване для того, щоб мати справу з абстрактними поняттями будь-якого виду, і в цій області немає меж її могутності. З цієї причини книга про сучасній фізиці, якщо вона не зводиться до простого опису експериментальної роботи, повинна бути по суті математичної.
Математика – королева і служниця наук.
Виявляється, одна з основних особливостей природи полягає в тому, що закони фундаментальної фізики описуються дуже витонченими і потужними математичними теоріями. Для розуміння цих теорій потрібно бути математиком високого рівня. Ви можете дивуватися: чому Природа влаштована таким чином? Єдине, що можна відповісти на сучасному рівні знань – Природа таким чином сконструйована. Залишається тільки прийняти це. Іншими словами, Бог – математик дуже високого рівня і Він використовував найдосконалішу математику при створенні Всесвіту. Наші слабкі математичні зусилля дозволяють нам зрозуміти пристрій лише маленького шматочка Всесвіту, і в міру подальшого розвитку математики ми сподіваємося зрозуміти будову Всесвіту краще.
Як відомо більшості математиків з власного досвіду, багато з того, що одне покоління математиків вважає надійним і задовільним, має шанс звернутися в найтоншу павутину під пильним поглядом наступного покоління.
